परिचय
कक्षा 9 में हमने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बारे में पढ़ा था। इन्हें मिलाकर हम वास्तविक संख्याएँ कहते हैं। इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं के दो बहुत ज़रूरी विचारों पर बात करेंगे:
- यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका - दो धनात्मक पूर्णांकों के HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने का तरीक़ा।
- अंकगणित का मूलभूत प्रमेय - हर भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
इनकी मदद से हम यह भी समझेंगे कि कुछ संख्याएँ (जैसे √2) अपरिमेय क्यों हैं, और कुछ परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार सांत क्यों होता है।
1. यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका
प्रमेयिका: किसी भी दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, ऐसे विशिष्ट पूर्णांक q और r विद्यमान हैं कि:
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
यहाँ q को भागफल और r को शेषफल कहते हैं।
उदाहरण
मान लीजिए a = 455 और b = 42:
- 455 = 42 × 10 + 35
- तो q = 10 और r = 35 (और 0 ≤ 35 < 42, सही है)
HCF निकालने का तरीक़ा (यूक्लिड एल्गोरिथ्म)
दो संख्याओं का HCF निकालने के लिए:
- बड़ी संख्या को छोटी से भाग दो।
- शेषफल अगर 0 है, तो भाजक ही HCF है।
- वरना, भाजक नया a और शेषफल नया b बनाओ। चरण 1 दोहराओ।
उदाहरण: 455 और 42 का HCF निकालिए।
| चरण | समीकरण | भाजक | शेषफल |
|---|
| 1 | 455 = 42 × 10 + 35 | 42 | 35 |
| 2 | 42 = 35 × 1 + 7 | 35 | 7 |
| 3 | 35 = 7 × 5 + 0 | 7 | 0 |
HCF = 7
2. अंकगणित का मूलभूत प्रमेय
हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन - क्रम छोड़कर - विशिष्ट होता है।
उदाहरण
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
- 156 = 2² × 3 × 13
HCF और LCM निकालना
दो संख्याओं - जैसे 6 और 20 - के लिए:
- HCF: हर अभाज्य की छोटी शक्ति → 2¹ × 3⁰ × 5⁰ = 2
- LCM: हर अभाज्य की बड़ी शक्ति → 2² × 3¹ × 5¹ = 60
ध्यान दें: HCF × LCM = a × b → 2 × 60 = 120 = 6 × 20 ✓
3. अपरिमेय संख्याएँ
संख्याएँ जो p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं (जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0), वे अपरिमेय होती हैं।
सिद्ध करें कि √2 अपरिमेय है
विरोधाभास से प्रमाण:
मान लीजिए √2 परिमेय है। तब √2 = p/q, जहाँ p और q के बीच कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं (यानी p/q सरलतम रूप में है)।
- वर्ग करने पर: 2 = p²/q²
- तो: p² = 2q²
- मतलब p² एक सम संख्या है ⟹ p भी सम है।
- तो p = 2k (किसी पूर्णांक k के लिए)।
- फिर: (2k)² = 2q² ⟹ 4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q² सम ⟹ q भी सम।
लेकिन तब p और q दोनों 2 से विभाज्य हैं - यह उस मान्यता के विरुद्ध है कि p/q सरलतम रूप में है।
इसलिए √2 परिमेय नहीं हो सकती। √2 अपरिमेय है। ∎
4. परिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार
एक परिमेय संख्या p/q (सरलतम रूप में) का दशमलव विस्तार सांत होता है यदि q का अभाज्य गुणनखंडन 2 और 5 के अलावा कोई और अभाज्य न रखे।
उदाहरण
- 7/8 = 7/2³ → सांत (= 0.875)
- 13/3125 = 13/5⁵ → सांत
- 1/3 → 0.3333… (अनवसानी आवर्ती - क्योंकि 3, न तो 2 है, न 5)
- 1/6 = 1/(2 × 3) → अनवसानी आवर्ती
मुख्य बातें
- यूक्लिड एल्गोरिथ्म से HCF निकाला जाता है।
- मूलभूत प्रमेय: हर भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन विशिष्ट होता है।
- p × q = HCF(p, q) × LCM(p, q)
- √2, √3, √5, π - सभी अपरिमेय हैं।
- p/q का दशमलव सांत है ⟺ q के अभाज्य गुणनखंडन में सिर्फ़ 2 और/या 5 हों।
अभ्यास के लिए सवाल
- यूक्लिड एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF निकालिए।
- 12, 15 और 21 का LCM और HCF निकालिए - अभाज्य गुणनखंडन से।
- सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय है।
- बिना भाग किए बताइए - क्या निम्नलिखित का दशमलव विस्तार सांत है?
(a) 13/3125 (b) 17/8 (c) 64/455 (d) 15/1600
इन सवालों पर अटक जाएँ तो “इस अध्याय पर सवाल पूछें” बटन से शिक्षक को संदेश भेज सकते हैं।
Introduction
In Class 9, you studied rational and irrational numbers. Together, these form the real numbers. In this chapter, we explore two powerful ideas about real numbers:
- Euclid’s Division Lemma - a method for finding the HCF (Highest Common Factor) of two positive integers.
- The Fundamental Theorem of Arithmetic - every composite number can be uniquely expressed as a product of primes.
Using these, we will also understand why numbers like √2 are irrational, and why the decimal expansions of certain rational numbers terminate.
1. Euclid’s Division Lemma
Lemma: Given any two positive integers a and b, there exist unique integers q and r satisfying:
a = bq + r, where 0 ≤ r < b
Here q is the quotient and r is the remainder.
Example
Let a = 455 and b = 42:
- 455 = 42 × 10 + 35
- So q = 10 and r = 35 (and 0 ≤ 35 < 42 ✓)
Finding HCF (Euclid’s Algorithm)
To find the HCF of two numbers:
- Divide the larger by the smaller.
- If the remainder is 0, the divisor is the HCF.
- Otherwise, the divisor becomes the new a and the remainder becomes the new b. Repeat step 1.
Example: Find the HCF of 455 and 42.
| Step | Equation | Divisor | Remainder |
|---|
| 1 | 455 = 42 × 10 + 35 | 42 | 35 |
| 2 | 42 = 35 × 1 + 7 | 35 | 7 |
| 3 | 35 = 7 × 5 + 0 | 7 | 0 |
HCF = 7
2. The Fundamental Theorem of Arithmetic
Every composite number can be expressed as a product of primes, and this factorization is unique - apart from the order of the factors.
Examples
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
- 156 = 2² × 3 × 13
Finding HCF and LCM
For two numbers - say 6 and 20:
- HCF: take the smaller power of each prime → 2¹ × 3⁰ × 5⁰ = 2
- LCM: take the larger power of each prime → 2² × 3¹ × 5¹ = 60
Note: HCF × LCM = a × b → 2 × 60 = 120 = 6 × 20 ✓
3. Irrational Numbers
A number that cannot be written as p/q (where p, q are integers and q ≠ 0) is called an irrational number.
Prove that √2 is irrational
Proof by contradiction:
Assume √2 is rational. Then √2 = p/q, where p and q share no common factor (i.e., p/q is in simplest form).
- Squaring: 2 = p²/q²
- So: p² = 2q²
- This means p² is even ⟹ p is even.
- So p = 2k for some integer k.
- Then: (2k)² = 2q² ⟹ 4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q² is even ⟹ q is even.
But now both p and q are divisible by 2 - contradicting our assumption that p/q was in simplest form.
Therefore √2 cannot be rational. √2 is irrational. ∎
4. Decimal Expansions of Rational Numbers
A rational number p/q (in simplest form) has a terminating decimal expansion if and only if the prime factorization of q contains only 2’s and 5’s (no other primes).
Examples
- 7/8 = 7/2³ → terminating (= 0.875)
- 13/3125 = 13/5⁵ → terminating
- 1/3 → 0.3333… (non-terminating, repeating - because 3 is neither 2 nor 5)
- 1/6 = 1/(2 × 3) → non-terminating, repeating
Key Takeaways
- Euclid’s algorithm finds the HCF.
- Fundamental Theorem: every composite number has a unique prime factorization.
- p × q = HCF(p, q) × LCM(p, q)
- √2, √3, √5, π - all irrational.
- p/q terminates ⟺ q’s prime factorization contains only 2’s and/or 5’s.
Practice Questions
- Use Euclid’s algorithm to find the HCF of 867 and 255.
- Find the LCM and HCF of 12, 15, and 21 using prime factorization.
- Prove that √5 is irrational.
- Without dividing, decide which of the following have a terminating decimal expansion:
(a) 13/3125 (b) 17/8 (c) 64/455 (d) 15/1600
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